Dans un monde où les indicateurs de développement sont multiples (revenu, santé, éducation, accès aux services, environnement), il devient crucial de synthétiser l’information pour comprendre les grands profils qui distinguent les pays. Pour ce faire, nous mobilisons deux techniques statistiques puissantes et complémentaires :
ACP), qui permet de réduire la dimension des données en identifiant les axes principaux de variation entre les pays,ACP.Cette approche nous permettra : - D’identifier visuellement les dimensions clés du développement, - De regrouper les pays en classes homogènes, facilitant ainsi l’analyse comparative.
Nous appliquerons cette démarche sur un ensemble de variables décrivant les niveaux de vie, l’éducation, la santé, l’environnement et l’accès aux services, dans le but de dresser une cartographie synthétique et interprétable des grandes catégories de pays à travers le monde.
Le jeu de données utilisé dans cette analyse provient de Kaggle et regroupe plusieurs indicateurs socio-économiques et de santé pour 167 pays.
ACP)L’ACP est une méthode statistique de réduction de dimensionnalité. Elle transforme un grand nombre de variables corrélées en un nombre plus petit de variables non corrélées appelées composantes principales. Ces composantes capturent l’essentiel de la variation présente dans les données originales.
Pourquoi utiliser l’ACP ?
- Simplifier l’analyse en réduisant la complexité des données multidimensionnelles,
- Visualiser facilement les relations entre observations et variables,
- Mettre en évidence les structures sous-jacentes dans les données.
K-means est une méthode de classification non supervisée qui consiste à regrouper un ensemble d’observations en K clusters (groupes), où chaque observation appartient au cluster dont elle est la plus proche selon une mesure de distance (souvent euclidienne).
Pourquoi utiliser K-means ?
L’ACP et le K-means sont souvent utilisés conjointement car ils se complètent parfaitement :
- ACP prépare les données en réduisant leur dimension, en supprimant le bruit et les redondances, ce qui facilite la visualisation et la compréhension,
- K-means exploite l’espace réduit par l’ACP pour effectuer un regroupement plus robuste et plus interprétable, évitant les problèmes liés à la malédiction de la dimension.
Ainsi, l’association ACP + K-means permet d’analyser efficacement des données complexes, en identifiant à la fois les principales dimensions d’influence et les groupes d’observations partageant des caractéristiques communes.
rm(list=ls())
##--- package à installer
packages <- c(
"dplyr","cluster",
"ggplot2","factoextra",
"FactoMineR", "pheatmap",
"ggrepel", "patchwork"
)
##-- Boucle pour installer et charger les packages
for (pkg in packages) {
if (!requireNamespace(pkg, quietly = TRUE)) {
install.packages(pkg, dependencies = T)
}
library(pkg, character.only = TRUE)
}df <- read.csv('data_country.csv')
# vérification
glimpse(df)Rows: 167
Columns: 10
$ Country <chr> "Afghanistan", "Albania", "Algeria", "Angola", "Antigua and…
$ child_mort <dbl> 90.2, 16.6, 27.3, 119.0, 10.3, 14.5, 18.1, 4.8, 4.3, 39.2, …
$ exports <dbl> 10.0, 28.0, 38.4, 62.3, 45.5, 18.9, 20.8, 19.8, 51.3, 54.3,…
$ health <dbl> 7.58, 6.55, 4.17, 2.85, 6.03, 8.10, 4.40, 8.73, 11.00, 5.88…
$ imports <dbl> 44.9, 48.6, 31.4, 42.9, 58.9, 16.0, 45.3, 20.9, 47.8, 20.7,…
$ income <int> 1610, 9930, 12900, 5900, 19100, 18700, 6700, 41400, 43200, …
$ inflation <dbl> 9.440, 4.490, 16.100, 22.400, 1.440, 20.900, 7.770, 1.160, …
$ life_expec <dbl> 56.2, 76.3, 76.5, 60.1, 76.8, 75.8, 73.3, 82.0, 80.5, 69.1,…
$ total_fer <dbl> 5.82, 1.65, 2.89, 6.16, 2.13, 2.37, 1.69, 1.93, 1.44, 1.92,…
$ gdpp <int> 553, 4090, 4460, 3530, 12200, 10300, 3220, 51900, 46900, 58…Description des données
Le jeu de données contient les indicateurs suivants avec leurs éventuelles significations pour 167 pays :
child_mort : taux de mortalité infantile (pour 1000 naissances vivantes)
exports et imports : en % du PIB
health : dépenses de santé en % du PIB
income : revenu moyen par personne
inflation : taux d’inflation
life_expec : espérance de vie
total_fer : taux de fécondité
gdpp : PIB par habitant
Les formats des variables semblent être adéquats.
Pour aller plus loin dans le descriptis des données, on peut taper la commande suivante :
summary(df) Country child_mort exports health
Length:167 Min. : 2.60 Min. : 0.109 Min. : 1.810
Class :character 1st Qu.: 8.25 1st Qu.: 23.800 1st Qu.: 4.920
Mode :character Median : 19.30 Median : 35.000 Median : 6.320
Mean : 38.27 Mean : 41.109 Mean : 6.816
3rd Qu.: 62.10 3rd Qu.: 51.350 3rd Qu.: 8.600
Max. :208.00 Max. :200.000 Max. :17.900
imports income inflation life_expec
Min. : 0.0659 Min. : 609 Min. : -4.210 Min. :32.10
1st Qu.: 30.2000 1st Qu.: 3355 1st Qu.: 1.810 1st Qu.:65.30
Median : 43.3000 Median : 9960 Median : 5.390 Median :73.10
Mean : 46.8902 Mean : 17145 Mean : 7.782 Mean :70.56
3rd Qu.: 58.7500 3rd Qu.: 22800 3rd Qu.: 10.750 3rd Qu.:76.80
Max. :174.0000 Max. :125000 Max. :104.000 Max. :82.80
total_fer gdpp
Min. :1.150 Min. : 231
1st Qu.:1.795 1st Qu.: 1330
Median :2.410 Median : 4660
Mean :2.948 Mean : 12964
3rd Qu.:3.880 3rd Qu.: 14050
Max. :7.490 Max. :105000 On voit qu’on des données qui sont propres ,ce qui est rarement le cas dans des situations réélles.
Visualisation des informations sur la distribution des variables
plot_box_plot <- function(variable_name_str, title = "") {
# Vérification que la variable existe dans df
if(!variable_name_str %in% colnames(df)) {
stop("La variable spécifiée n'existe pas dans la table")
}
var_titles <- list(
"child_mort" = "Taux de mortalité infantile",
"exports" = "Exportations (% du PIB)",
"health" = "Dépenses de santé (% du PIB)",
"imports" = "Importations (% du PIB)",
"income" = "Revenu par habitant (en USD)",
"inflation" = "Taux d'inflation (%)",
"life_expec" = "Espérance de vie (en années)",
"total_fer" = "Taux de fécondité (enfants par femme)",
"gdpp" = "PIB par habitant (en USD)"
)
title <- var_titles[[variable_name_str]]
# titre par défaut
if (title == "") {
title <- paste("Distribution de la variable", variable_name_str)
}
# Création du graphique
plt <- ggplot(df, aes(y = .data[[variable_name_str]])) +
geom_boxplot(fill = "skyblue", color = "darkblue") +
theme_light() +
labs(title = title, y = variable_name_str)+
theme(plot.title = element_text(size = 9))
return(plt)
}
plots <- lapply(colnames(df[,-1]), plot_box_plot)
wrap_plots(plots, ncol = 3)
On calcule les corrélation de Pearson quand on suspecte des relations linéaires entre les variables, quand celles -ci sont sous forme d’échelle ou de ratio. Ici en plus de ploter le heatmap des variables, nous afficherons celles qui sont significativement corrélées (Test de corrélation de Pearson cf. Annexe 1)
# calcul de la matrice de corrélations de pearson
cor_matrix <- cor(df[, -1], method = "pearson")
# fonction pour extraire les p-values
get_pval <- function(x, y) {
res <- suppressWarnings(cor.test(x, y, method = "pearson"))
return(res$p.value)
}
# matrice des p-values
n <- ncol(df[, -1])
pval_matrix <- matrix(NA, nrow = n, ncol = n)
rownames(pval_matrix) <- colnames(df[, -1])
colnames(pval_matrix) <- colnames(df[, -1])
for (i in 1:n) {
for (j in 1:n) {
pval_matrix[i, j] <- get_pval(df[, -1][[i]], df[, -1][[j]])
}
}
get_signif_stars <- function(p) {
if (p < 0.01) {
return("***")
} else if (p < 0.05) {
return("**")
} else if (p < 0.1) {
return("*")
} else {
return("")
}
}
# Création de la matrice des annotations
number_labels <- matrix("", nrow = n, ncol = n)
for (i in 1:n) {
for (j in 1:n) {
rho <- cor_matrix[i, j]
p <- pval_matrix[i, j]
stars <- get_signif_stars(p)
number_labels[i, j] <- paste0(sprintf("%.2f", rho), stars)
}
}
rownames(number_labels) <- rownames(cor_matrix)
colnames(number_labels) <- colnames(cor_matrix)
# heatmat sans clustering (car par defaut la fonction essaie de faire une CAH)
plt <- pheatmap(
cor_matrix,
cluster_rows = FALSE,
cluster_cols = FALSE,
color = colorRampPalette(c("blue", "white", "red"))(50),
display_numbers = number_labels,
number_format = "",
fontsize_number = 8,
main = "Heatmap de la corrélation de Person",
angle_col = 90
)
plt
Interpretation :
Comme on peut le constater, plusieurs variables présentent des corrélations significatives entre elles. Cela est mis en évidence par les étoiles indiquant le niveau de signification statistique : *** pour une signification au seuil de 1 %, ** pour 5 %, et * pour 10 %. La coloration des cellules — plus elles sont proches du rouge ou du bleu foncé, plus la corrélation est forte (positive ou négative) — renforce cette lecture. Par exemple le taux de mortalité infantile est négativement corrélé à l’expérance de vie (-0,89 ***). Un taux de mortalité infantile élevé signifie que de nombreux décès surviennent très tôt dans la vie. Comme l’espérance de vie est une moyenne pondérée des âges au décès, la présence de nombreux décès précoces fait chuter la moyenne, d’où la corrélation négative. Par contre le taux de mortalité infantile est positivement corrélé à le taux de fécondité (0,85 ***). Cela peut s’expliquer par le fait que, dans les pays où le taux de fécondité est élevé, le nombre total de naissances est plus important. Dès lors, si les conditions sanitaires restent précaires, cela augmente mécaniquement le nombre d’enfants susceptibles de décéder en bas âge. Ce phénomène s’apparente à un processus binomial, où chaque naissance représente une “épreuve” avec une certaine probabilité de décès. Plus il y a d’épreuves, plus la fréquence des décès peut être élevée, ce qui se traduit par un taux de mortalité infantile plus important.
Ces interdépendances marquées entre les variables justifient le recours à une analyse en composantes principales (ACP), qui permettra de résumer l’information contenue dans ces variables corrélées tout en réduisant la dimensionnalité du jeu de données.
ACP Plusieurs packages sur R permettre de mettre en oeuvre l’analyse en composantes principales. Nous utiliserons les packages FactoMineR et factoextra. Très souvent, on standardise les données avant de réaliser une analyse en composantes principales. Cette étape permet de ramener toutes les variables à une échelle comparable, en neutralisant les différences d’unités ou d’amplitudes. Ainsi, chaque variable contribue équitablement à la construction des composantes principales, sans que celles ayant une grande variance ne dominent l’analyse.
df_acp <- df[, -1]
rownames(df_acp) <- df[,1]
acp_model <- PCA(df_acp, scale.unit = TRUE, graph = FALSE)names(acp_model)[1] "eig" "var" "ind" "svd" "call"eig : Valeurs propres associées aux composantes principales. Elles indiquent la variance expliquée par chaque axe.
var : Informations sur les variables actives (coordonnées, contributions, qualités de représentation (cos2)).
ind : Informations sur les individus (lignes) : coordonnées dans l’espace factoriel, contributions, cos2.
svd : Résultats de la décomposition en valeurs singulières (utile si vous voulez aller dans le détail mathématique).
call : L’appel de la fonction (PCA(...)), utile pour garder la trace de tes paramètres d’appel.
Mais nous allons nous concentrés que sur eig, var et ind.
Valeurs proppres : Choix des dimensions d’analyse
fviz_eig(acp_model, geom = 'line') +
labs(title = "Pourcentages des variances expliquées par les composantes principales",
y = "Pourcentage d'inertie", x = "Composantes principales")
Le screeplot (ou graphique des éboulis) met en évidence une chute marquée des valeurs propres entre la première et la deuxième dimension. Un léger coude apparaît ensuite entre la deuxième et la troisième composante. Au-delà, la décroissance devient plus faible et progressive, avec un second coude observable autour de la sixième dimension.
Pour déterminer le nombre optimal d’axes à retenir, nous nous appuierons sur deux critères complémentaires :
Le critère de Kaiser, qui recommande de ne retenir que les composantes dont la valeur propre est supérieure à 1.
Le critère du taux d’inertie, qui suggère de conserver le nombre de dimensions nécessaires pour expliquer un seuil acceptable de la variance totale, souvent fixé à 70 % ou 80 % selon le contexte.
fviz_eig(acp_model, choice = "eigenvalue" , geom = 'bar')+
geom_hline(yintercept = 1, linetype = 2, color = "red") +
labs(title = "Valeurs propres des composantes principales",
y = "Valeur propre", x = "Composantes principales")
En se basant donc sur ces deux critère nous pouvons sélectionner les trois premières dimensions.
Analyses des variables
fviz_pca_var(acp_model, col.var = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"))+
labs(title = "Cercle de corrélation des variables",
y = "Dimension 2", x = "Dimension 1") +
theme_light()
fviz_pca_var(acp_model, axes = c(1, 3), col.var = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"))+
labs(title = "Cercle de corrélation des variables",
y = "Dimension 3", x = "Dimension 1") +
theme_light()
fviz_pca_var(acp_model, axes = c(2, 3), col.var = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"))+
labs(title = "Cercle de corrélation des variables",
y = "Dimension 3", x = "Dimension 2") +
theme_light()
Cartes de la representation des variables sur les dimensions
on observe que les variables health et inflation sont peu bien représentées sur le plan factoriel (valeurs de cos² faibles). À l’inverse, la variable exports est celle qui est la mieux projetée sur ce plan.
Les variables imports et exports sont davantage alignées avec la dimension 2, ce qui suggère que cet axe reflète essentiellement les activités économiques extérieures (importations et exportations). Nous pourrions ainsi interpréter l’Axe 2 comme celui de l’ouverture commerciale.
Concernant l’Axe 1, il oppose le taux de fécondité et le taux de mortalité infantile (positivement corrélés entre eux) à l’espérance de vie, la croissance du PIB par tête, et aux revenus moyens par habitant. On peut donc interpréter cet axe comme celui du niveau de développement socio-économique.
En résumé :
Graphique b)
Sur ce plan (Axe 1-3), les importations ne sont pas bien représentées, ce qui signifie qu’elles ont une faible contribution à la projection dans cet espace factoriel.
La dimension 1, comme précédemment, semble caractériser un niveau de développement socio-économique, opposant les pays à forte mortalité infantile et fécondité élevée à ceux présentant une espérance de vie plus longue, un revenu moyen plus élevé, les exportations et un PIB par tête plus important.
Quant à l’Axe 3, il oppose principalement l’inflation aux dépenses de santé. Ces deux variables apparaissent en opposition sur cet axe, suggérant que dans les pays où l’inflation est forte, la part des dépenses de santé dans le PIB tend à être plus faible, et inversement.
En résumé :
Graphique b)
Toutes les variables en bleues sont mal représentées. On voit encore une oppostion entre le taux d’inflation et les dépenses de santé sur l’axe 3. Quant à l’axe 2, il décrit les activités d’importation et d’exportation.
On pouvait choisir d’afficher le cercle de corrélation des variables avec leur contribution respective en lieu et place de leur qualité de représentation. Le plus souvent les variables qui sont bien représentées sont celles qui contribuent le plus à la formation des axes factorielles. On peut également combiner ces deux critères.
On interprête que les variables qui ont une bonne contribution (critère : souvent supérieure à la contribution moyenne sur les axes choisis) ou une bonne qualité de représentations (cos2 > 0,6, mais souvent subjectif).
Analyses des individus
fviz_pca_ind(acp_model,
col.ind = "cos2", # coloration des individus selon qualité dereprésentation
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
geom = c("point", "text_repel")) + # points + labels repel
labs(title = "Projection des individus (Dim 1 et 2)",
x = "Dimension 1", y = "Dimension 2") +
theme_light()
fviz_pca_ind(acp_model, axes = c(1, 3),
col.ind = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
geom = c("point", "text_repel")) +
labs(title = "Projection des individus (Dim 1 et 3)",
x = "Dimension 1", y = "Dimension 3") +
theme_light()
fviz_pca_ind(acp_model, axes = c(2, 3),
col.ind = "cos2",
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
geom = c("point", "text_repel")) +
labs(title = "Projection des individus (Dim 2 et 3)",
x = "Dimension 2", y = "Dimension 3") +
theme_light()
Cartes de la representation des variables sur les dimension
Le principe d’analyse ne change pas. Les individus en bleu ciel sont mal représentés. On voit des points atypiques qui se démarquent. Ceux-ci contribuent fortement à la formation des axes aux quels ils sont proches.
fviz_pca_ind(acp_model,
col.ind = "contrib", # coloration des individus selon qualité dereprésentation
gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07")) + # points + labels repel
labs(title = "Projection des individus (Dim 1 et 2)",
x = "Dimension 1", y = "Dimension 2") +
theme_light()
Ils s’agit de Singapore, du luxembourg et éventuellemet de Malta. Qu’on les retire ou pas cela n’aurait pas changé quelle que chose, car les variables qu’on a ont probablement toutes des dénominateurs communs en fonction de leurs définitions (la taille de la population pour les variables par hahbitants etc.).
contrib_ind_dim_1_2 <- as.data.frame(acp_model$ind$contrib[, 1:2]) %>%
filter(rownames(as.data.frame(acp_model$ind$contrib[, 1:2])) %in% c("Singapore", "Luxembourg", "Malta"))
knitr::kable(contrib_ind_dim_1_2, format = "html")| Dim.1 | Dim.2 | |
|---|---|---|
| Luxembourg | 6.928982 | 9.108194 |
| Malta | 1.960319 | 8.794095 |
| Singapore | 4.842860 | 17.290257 |
Pour les autres plans, le processus est pareil.
Ici on applique directement les kmeans aux coordonnées factorielles issues de l’ACP. Et on avait décider de travailler que sur les trois premières dimensions. Ceci est une illustration de la réduction de dimentionalités avant de passer à l’application d’une méthode qui servira à résoudre un problème de classifications.
Etant donné qu’on veut choisir le nombre de cluster qui non seulement minimise l’inertie intra-classe (donc maximise l’inertie inter-classe), mais à partir du quel son incrémentation ne change presque plus ou de peu l’inertie intra-classe. En d’autres termes ou on n’a plus de chute brutale. Chute car plus le nombre clusters augmente, plus l’inertie-intra classe diminue.
set.seed(123) # fixe la graine générative
dataTocluster <- scale(acp_model$ind$coord[,1:3]) # selection des coordonnées factorielles sur les 3 premiers axes
resKmeans <- list() # pour stocker les résultats de l'algorithme
CPtheta <- rep(0, 8) # pour stocker les inerties intra-classes (8 classes choisies de manière subjective)
for (K in 1:8){
resKmeans[[K]] <- kmeans(dataTocluster, K, nstart = 50)
CPtheta[K] <- resKmeans[[K]]$tot.withinss
}df_ev_inertie <- data.frame(
InertieIntraclasse = CPtheta,
NombreClusters = 1:8
)
ggplot(df_ev_inertie, aes(x = NombreClusters, y = InertieIntraclasse)) +
geom_line() +
geom_point(shape = 21, fill = "white", color = "black", size = 3) +
labs(
x = "Nombre de clusters",
y = "Inertie intra-classe"
) + theme_light()
D’après le critère du coude, \(K=4\) (éventuellement \(k=5\)) est un choix pertinent. Affichons ainsi un descriptif des résultats du k-means.
classif_4 <- resKmeans[[4]]
str(classif_4)List of 9
$ cluster : Named int [1:167] 2 4 3 3 4 3 4 4 4 3 ...
..- attr(*, "names")= chr [1:167] "Afghanistan" "Albania" "Algeria" "Angola" ...
$ centers : num [1:4, 1:3] 2.204 -0.907 -0.236 0.66 3.856 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:4] "1" "2" "3" "4"
.. ..$ : chr [1:3] "Dim.1" "Dim.2" "Dim.3"
$ totss : num 498
$ withinss : num [1:4] 10.7 54.5 91.6 74.6
$ tot.withinss: num 231
$ betweenss : num 267
$ size : int [1:4] 4 52 39 72
$ iter : int 3
$ ifault : int 0
- attr(*, "class")= chr "kmeans"Ces chiffres signifient que :
variance totale des données est de 498.variance intra-classe totale est de 231, ce qui mesure la compacité des clusters.variance inter-classe est de 267, indiquant la séparation entre les groupes.54 % de la variance totale est expliquée par la partition.tailles des clusters sont inégales, allant de 4 à 72 individus.convergé rapidement en 3 itérations.La partition en 4 clusters présenterait donc un bon équilibre entre homogénéité interne et séparation externe.
classif_5 <- resKmeans[[5]]
str(classif_5)List of 9
$ cluster : Named int [1:167] 5 3 1 1 4 3 3 3 3 1 ...
..- attr(*, "names")= chr [1:167] "Afghanistan" "Albania" "Algeria" "Angola" ...
$ centers : num [1:5, 1:3] -7.97e-05 2.68 7.00e-01 2.53e-01 -1.09 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:5] "1" "2" "3" "4" ...
.. ..$ : chr [1:3] "Dim.1" "Dim.2" "Dim.3"
$ totss : num 498
$ withinss : num [1:5] 54.3 4.79 36.17 53.68 43.34
$ tot.withinss: num 192
$ betweenss : num 306
$ size : int [1:5] 20 3 45 51 48
$ iter : int 4
$ ifault : int 0
- attr(*, "class")= chr "kmeans"Ces chiffres signifient que :
variance totale des données est de 498.intra-classe totale est de 192, indiquant la compacité des clusters.variance inter-classe est de 306, mesurant la séparation entre les groupes.61% de la variance totale est expliquée par la partition, ce qui est une amélioration par rapport à k=4.convergé en 4 itérations.La partition en 5 clusters améliore la séparation entre groupes et la compacité interne.
table(classif_5$cluster)
1 2 3 4 5
20 3 45 51 48 On choisit \(k=5\) en combinant critère du coude et variance expliquée.
Le choix du k est un peu subjctif mais on a plusieurs règles permettant de le choisir. Il s’agit entre autre du critère du taux d’inertie, critère du coude etc. On aurait donc bien pu prendre k=4.
Représentations graphiques
dataTocluster <- as.data.frame(dataTocluster)
dataTocluster <- dataTocluster %>%
mutate (classe = as.factor(classif_5$cluster))
ggplot(dataTocluster, aes (x = Dim.1, y = Dim.2, color = classe)) +
geom_point() +
geom_text_repel(aes(label = rownames(dataTocluster)), size = 3) +
labs(
title = "Classification des pays (Axe 1 - Axe 3)",
x = "Dimension 1",
y = "Dimension 3",
color = "Classe/Cluster"
)+
theme_light()
Certains points sont non labellisés pour éviter que les noms des pays ne se chevauchent, ce qui pourrait nuire à la lisibilité du graphique. Vous trouverez en annexe 4 les tables détaillant les différentes classes.
Sur le premier plan factoriel, on observe que Singapour, Malte et le Luxembourg appartiennent à la même classe. Cette proximité pourrait s’expliquer par plusieurs facteurs communs à ces pays (cf. annexe 3):
Espérance de vie élevée : Ces pays affichent une espérance de vie parmi les plus hautes au monde, reflétant une qualité de vie et des systèmes de santé performants.
Faible taux de mortalité infantile : Les taux de mortalité infantile y sont très bas, indiquant un accès généralisé aux soins prénatals et postnatals de qualité.
Revenu par habitant élevé : Le PIB par habitant est significativement supérieur à la moyenne mondiale, traduisant une économie développée et stable.
Dépenses de santé élevées en pourcentage du PIB : Ces pays investissent une part importante de leur PIB dans la santé, ce qui se traduit par des infrastructures médicales avancées et un personnel soignant bien formé.
Faible taux de fécondité : Le taux de fécondité y est inférieur au seuil de renouvellement des générations, ce qui est caractéristique des pays développés avec un niveau d’éducation élevé et une urbanisation importante.
Ces similitudes dans les indicateurs socio-économiques et sanitaires justifient leur regroupement sur le plan factoriel de l’ACP.
Vous pouvez analyser le graphique sur le plan 1-3.
dataTocluster <- as.data.frame(dataTocluster)
dataTocluster <- dataTocluster %>%
mutate (classe = as.factor(classif_5$cluster))
ggplot(dataTocluster, aes(x = Dim.1, y = Dim.3, color = classe)) +
geom_point() +
geom_text_repel(aes(label = rownames(dataTocluster)), size = 3) + # cex ≈ size = 3
labs(
title = "Classification des pays (Axe 1 - Axe 3)",
x = "Dimension 1",
y = "Dimension 3",
color = "Classe/Cluster"
) +
theme_light()
Le test de corrélation de Pearson est utilisé pour évaluer la présence d’une relation linéaire significative entre deux variables quantitatives continues. Il est adapté lorsque les données suivent une distribution normale ou sont suffisamment symétriques.
Déterminer s’il existe une corrélation linéaire significative entre deux variables \(X\) et \(Y\).
Le coefficient de corrélation linéaire \(\rho\), mesurant l’intensité et le sens de la relation linéaire entre \(X\) et \(Y\) dans la population.
\[ \rho = \text{Corr}(X, Y) \]
Hypothèses
Hypothèse nulle \(H_0\) :
\[
\rho = 0
\] (pas de corrélation linéaire entre \(X\) et \(Y\)
Hypothèse alternative \(H_1\) :
\[
\rho \ne 0
\] (corrélation linéaire significative)
Statistique de test
À partir du coefficient de corrélation de l’échantillon \(\rho\), la statistique de test est :
\[ t = \frac{\rho \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - \rho^2}} \]
Distribution de la statistique sous \(H_0\)
Sous \(H_0\), la statistique suit une loi de Student à \(n - 2\) degrés de liberté :
\[ t \sim \mathcal{T}(n - 2) \]
Règle de décision
\[ |t| > t_{\alpha/2, n - 2} \]
ou
\[ \text{p-value} < \alpha \]
Région de rejet
Pour un test bilatéral :
\[ \mathcal{R} = \left\{ t : |t| > t_{\alpha/2, n - 2} \right\} \]
Conditions d’application
L’algorithme des k-moyennes (ou nuées dynamiques) est une méthode de classification non supervisée permettant de regrouper des individus en k groupes homogènes. Il repose sur la minimisation de l’inertie intra-classe, c’est-à-dire la somme des distances quadratiques entre chaque individu et le centre de son groupe.
L’algorithme fonctionne de la manière suivante :
Algorithme 1 : Algorithme de Lloyd
Données : \(x_1, \dots, x_n\)
Initialisation : poser \(m = 0\) et tirer au hasard \(K\) points de \(\mathbb{R}^p\) comme centres initiaux : \[ \mu_1^{[m]}, \dots, \mu_K^{[m]} \]
Tant que la partition n’est pas stable :
Incrémentation du compteur : \[ m \leftarrow m + 1 \]
Mise à jour de la partition à centres fixés :
Affecter chaque individu à la classe dont le centre est le plus proche : \[ P_k^{[m]} = \left\{ i : d_M(x_i, \mu_k^{[m-1]}) \leq d_M(x_i, \mu_{k'}^{[m-1]}) \ \forall k' = 1, \dots, K \right\} \]
avec : \[ z_{ik}^{[m]} = \begin{cases} 1 & \text{si } i \in P_k^{[m]} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]
Résultat final :
La partition : \[ \mathcal{P}^{[m]} = \{P_1^{[m]}, \dots, P_K^{[m]}\} \]
et les centres associés : \[ \mu_1^{[m]}, \dots, \mu_K^{[m]} \]
Source : Cours Kmeans – ENSAI 1A, 2024-2025
Enseignant : Javier GONZALEZ
Ce processus converge généralement rapidement et il est très efficace, même sur de grands jeux de données.
ACPL’algorithme des k-moyennes s’applique sur des variables quantitatives. On peut donc l’utiliser directement sur les coordonnées factorielles obtenues via une Analyse en Composantes Principales (ACP).
Cela présente plusieurs avantages :
L’application des k-moyennes après ACP permet donc de classer les individus dans l’espace factoriel de manière plus claire et plus efficace.
Le choix de \(k\) n’a pas besoin d’être exact à l’unité près car l’algorithme reste robuste. Toutefois, on peut s’aider d’un critère objectif : la courbe des inerties intra-classes en fonction de \(k\).
La courbe présente souvent une cassure (méthode du coude), indiquant un bon compromis entre complexité du modèle et qualité du regroupement.
| Country | child_mort | exports | health | imports | income | inflation | life_expec | total_fer | gdpp |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Luxembourg | 2.8 | 175 | 7.77 | 142 | 91700 | 3.620 | 81.3 | 1.63 | 105000 |
| Malta | 6.8 | 153 | 8.65 | 154 | 28300 | 3.830 | 80.3 | 1.36 | 21100 |
| Singapore | 2.8 | 200 | 3.96 | 174 | 72100 | -0.046 | 82.7 | 1.15 | 46600 |
On peut voir que les caractéristiques sont très proches mises à part quelques unes.
| classe | Pays du cluster | |
|---|---|---|
| Algeria | 1 | Algeria |
| Angola | 1 | Angola |
| Azerbaijan | 1 | Azerbaijan |
| Bahrain | 1 | Bahrain |
| Brunei | 1 | Brunei |
| Congo, Rep. | 1 | Congo, Rep. |
| Equatorial Guinea | 1 | Equatorial Guinea |
| Gabon | 1 | Gabon |
| Indonesia | 1 | Indonesia |
| Kazakhstan | 1 | Kazakhstan |
| Kuwait | 1 | Kuwait |
| Libya | 1 | Libya |
| Mongolia | 1 | Mongolia |
| Nigeria | 1 | Nigeria |
| Oman | 1 | Oman |
| Qatar | 1 | Qatar |
| Saudi Arabia | 1 | Saudi Arabia |
| Sri Lanka | 1 | Sri Lanka |
| United Arab Emirates | 1 | United Arab Emirates |
| Venezuela | 1 | Venezuela |
| classe | Pays du cluster | |
|---|---|---|
| Luxembourg | 2 | Luxembourg |
| Malta | 2 | Malta |
| Singapore | 2 | Singapore |
| classe | Pays du cluster | |
|---|---|---|
| Albania | 3 | Albania |
| Argentina | 3 | Argentina |
| Armenia | 3 | Armenia |
| Australia | 3 | Australia |
| Austria | 3 | Austria |
| Bahamas | 3 | Bahamas |
| Barbados | 3 | Barbados |
| Bosnia and Herzegovina | 3 | Bosnia and Herzegovina |
| Brazil | 3 | Brazil |
| Canada | 3 | Canada |
| Chile | 3 | Chile |
| China | 3 | China |
| Colombia | 3 | Colombia |
| Costa Rica | 3 | Costa Rica |
| Croatia | 3 | Croatia |
| Cyprus | 3 | Cyprus |
| Denmark | 3 | Denmark |
| Dominican Republic | 3 | Dominican Republic |
| Ecuador | 3 | Ecuador |
| El Salvador | 3 | El Salvador |
| Finland | 3 | Finland |
| France | 3 | France |
| Germany | 3 | Germany |
| Greece | 3 | Greece |
| Iceland | 3 | Iceland |
| Iran | 3 | Iran |
| Israel | 3 | Israel |
| Italy | 3 | Italy |
| Japan | 3 | Japan |
| New Zealand | 3 | New Zealand |
| Norway | 3 | Norway |
| Peru | 3 | Peru |
| Poland | 3 | Poland |
| Portugal | 3 | Portugal |
| Romania | 3 | Romania |
| Russia | 3 | Russia |
| Serbia | 3 | Serbia |
| South Korea | 3 | South Korea |
| Spain | 3 | Spain |
| Sweden | 3 | Sweden |
| Switzerland | 3 | Switzerland |
| Turkey | 3 | Turkey |
| United Kingdom | 3 | United Kingdom |
| United States | 3 | United States |
| Uruguay | 3 | Uruguay |
| classe | Pays du cluster | |
|---|---|---|
| Antigua and Barbuda | 4 | Antigua and Barbuda |
| Belarus | 4 | Belarus |
| Belgium | 4 | Belgium |
| Belize | 4 | Belize |
| Bhutan | 4 | Bhutan |
| Botswana | 4 | Botswana |
| Bulgaria | 4 | Bulgaria |
| Cambodia | 4 | Cambodia |
| Cape Verde | 4 | Cape Verde |
| Czech Republic | 4 | Czech Republic |
| Estonia | 4 | Estonia |
| Fiji | 4 | Fiji |
| Georgia | 4 | Georgia |
| Grenada | 4 | Grenada |
| Guyana | 4 | Guyana |
| Hungary | 4 | Hungary |
| Ireland | 4 | Ireland |
| Jamaica | 4 | Jamaica |
| Jordan | 4 | Jordan |
| Kiribati | 4 | Kiribati |
| Kyrgyz Republic | 4 | Kyrgyz Republic |
| Latvia | 4 | Latvia |
| Lebanon | 4 | Lebanon |
| Lesotho | 4 | Lesotho |
| Liberia | 4 | Liberia |
| Lithuania | 4 | Lithuania |
| Macedonia, FYR | 4 | Macedonia, FYR |
| Malaysia | 4 | Malaysia |
| Maldives | 4 | Maldives |
| Mauritius | 4 | Mauritius |
| Micronesia, Fed. Sts. | 4 | Micronesia, Fed. Sts. |
| Moldova | 4 | Moldova |
| Montenegro | 4 | Montenegro |
| Morocco | 4 | Morocco |
| Namibia | 4 | Namibia |
| Netherlands | 4 | Netherlands |
| Panama | 4 | Panama |
| Paraguay | 4 | Paraguay |
| Samoa | 4 | Samoa |
| Seychelles | 4 | Seychelles |
| Slovak Republic | 4 | Slovak Republic |
| Slovenia | 4 | Slovenia |
| Solomon Islands | 4 | Solomon Islands |
| St. Vincent and the Grenadines | 4 | St. Vincent and the Grenadines |
| Suriname | 4 | Suriname |
| Thailand | 4 | Thailand |
| Tunisia | 4 | Tunisia |
| Turkmenistan | 4 | Turkmenistan |
| Ukraine | 4 | Ukraine |
| Vanuatu | 4 | Vanuatu |
| Vietnam | 4 | Vietnam |
| classe | Pays du cluster | |
|---|---|---|
| Afghanistan | 5 | Afghanistan |
| Bangladesh | 5 | Bangladesh |
| Benin | 5 | Benin |
| Bolivia | 5 | Bolivia |
| Burkina Faso | 5 | Burkina Faso |
| Burundi | 5 | Burundi |
| Cameroon | 5 | Cameroon |
| Central African Republic | 5 | Central African Republic |
| Chad | 5 | Chad |
| Comoros | 5 | Comoros |
| Congo, Dem. Rep. | 5 | Congo, Dem. Rep. |
| Cote d'Ivoire | 5 | Cote d'Ivoire |
| Egypt | 5 | Egypt |
| Eritrea | 5 | Eritrea |
| Gambia | 5 | Gambia |
| Ghana | 5 | Ghana |
| Guatemala | 5 | Guatemala |
| Guinea | 5 | Guinea |
| Guinea-Bissau | 5 | Guinea-Bissau |
| Haiti | 5 | Haiti |
| India | 5 | India |
| Iraq | 5 | Iraq |
| Kenya | 5 | Kenya |
| Lao | 5 | Lao |
| Madagascar | 5 | Madagascar |
| Malawi | 5 | Malawi |
| Mali | 5 | Mali |
| Mauritania | 5 | Mauritania |
| Mozambique | 5 | Mozambique |
| Myanmar | 5 | Myanmar |
| Nepal | 5 | Nepal |
| Niger | 5 | Niger |
| Pakistan | 5 | Pakistan |
| Philippines | 5 | Philippines |
| Rwanda | 5 | Rwanda |
| Senegal | 5 | Senegal |
| Sierra Leone | 5 | Sierra Leone |
| South Africa | 5 | South Africa |
| Sudan | 5 | Sudan |
| Tajikistan | 5 | Tajikistan |
| Tanzania | 5 | Tanzania |
| Timor-Leste | 5 | Timor-Leste |
| Togo | 5 | Togo |
| Tonga | 5 | Tonga |
| Uganda | 5 | Uganda |
| Uzbekistan | 5 | Uzbekistan |
| Yemen | 5 | Yemen |
| Zambia | 5 | Zambia |